― "많이 응모하면 무조건 당첨?" 정말 그럴까요?

스토브(STOVE)에서 진행하는 이벤트에는 "중복 응모 가능한 이벤트"가 자주 있습니다.

📣 “중복 응모 가능! 많이 응모할수록 당첨 확률 UP!”

이 말, 들으면 괜히 손이 근질거리죠. 1번보다는 10번, 10번보다는 50번!

“많이 응모하면 무조건 당첨되겠지!” 하고 생각하지만…

여기엔 의외의 수학적 함정이 숨어 있습니다.

🎲 많이 응모하면 당첨 확률이 진짜로 올라갈까?

당연히 올라갑니다! 응모권이 많아지면 그만큼 뽑힐 확률도 올라가죠.

예를 들어 총 응모 횟수가 3,700회고, 그 중 50번을 내가 응모했다면?

그냥 나누면 “50개 중 10명 뽑히니까… 당첨 확률은 약 13.5%?”

이 계산도 틀린 건 아니지만, 정확하지도 않아요. 

왜냐고요? 다른 사람들도 중복 응모했기 때문이에요.

실제로 이 경우의 ‘진짜 기대 확률’은, 산술 계산보다 1%가량 낮은 약 12.6%밖에 안 됩니다.

오히려 살짝 낮아지는 거죠. 그럼 100번 응모하면? 200번은?

• 100번 응모 → 당첨 확률 약 23.7%

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• 200번 응모 → 당첨 확률 약 41.8%

(계산의 편의를 위해 최대 값을 고정한 값이라, 실제로는 더 낮아집니다.)

맞습니다. 2배 많이 응모해도 당첨 확률은 2배 증가가 안됩니다!

응모권이 많아지면 많아질수록, ‘1개당 기여하는 당첨 확률’은 점점 떨어지는 특성이 있습니다. 이게 바로 “중복 응모의 함정”이죠.

📉 응모권 1장당 효과는 점점 줄어든다!?

한 번만 응모한 사람의 1장과, 500장 낸 사람의 1장은 ‘무게’가 다릅니다.

쉽게 말해, 처음 몇 장은 확률을 팍팍 올리지만

나중엔 거의 “물 한 방울 추가” 수준의 영향력밖에 없어요.

처음에 1장만 응모했을 때, 1%의 당첨 확률을 가질 수 있지만,

2장 응모한다고 2%가 아닌, 2%보다 더 낮은 확률을 갖게 되는 것이죠.

물론 전체 확률을 보면 당첨 확률은 올라가지만, 응모권 1장 마다의 기대 당첨율은 낮아지는 것이죠.

수학적으로 보면, 이건 “희박한 확률이 누적되면 어떻게 되는가”라는 흥미로운 문제인데요,

우리는 이걸 ‘포아송 근사’라는 도구로 재밌게 풀어볼 수 있습니다.

(…라고 말해도 몰라도 괜찮아요. 중요한 건 이런 흐름이 있다는 것!)

📚 희귀 확률의 계산에 사용되는 '프아송 근사'

이 '프아송 근사' 추측을 통해서 하나 더 게이머에게 중요한 확률의 함정을 알 수도 있습니다.

바로 "뽑기 확률"입니다. SSR의 확률이 0.1% 로 고지되어 있고, 실제로 시스템에도 0.1%로 설정되어 있더라도,

게이머가 체감하게 되는 확률은 더 낮습니다.

0.1%니깐, 1000번 뽑으면 100% 나오겠네? 라고 생각하기 쉽지만,

프아송 근사를 통해 우리가 실질적으로 느끼는 확률을 보면...

프아송 근사

P(적어도 1번)≈1−e ^(−λ)

여기서 𝜆=시도 횟수×뽑기 확률

🔍 해석 포인트 : 0.1% 확률이라면

100번 돌려도 90%의 사람들은 못 뽑습니다, 600번은 해줘야 반반입니다.

1000회를 뽑더라도 63.3% 확률 밖에 갖질 못합니다.

천장이 없던 시절에는, 표기값에도 불구하고 너무나 뽑기가 안나오는 것 같았던 이유도 여기에 있죠.

숫자 장난을 친 게 아니라, 희귀 확률에서의 기대 당첨값은 적혀있는 숫자보다 더 작기 때문입니다.

일부 가챠 방송에서, 수천만원을 녹여도 나오지 않는 이유가 여기에 있죠.

일부 가차 게임은 이런 확률도 고려해서 시스템을 설정하기도 하는데, 일반적으로는 그렇게까지는 안해줍니다 ㅠㅠ

그래서 우리가 하는 뽑기 게임은 기본적으로 "플레이어가 지는 게임"입니다.

🔚 정리하며

중복 응모는 확실히 이득입니다.

하지만 많이 낸다고 반드시 유리해지는 건 아닙니다.

특히 전체 응모 수가 많아질수록, "내 응모권 1장의 영향력"은 서서히 줄어들죠.

최대 응모 횟수를 분산해서, "계란을 한 바구니에 담지 말라"는 조언을 따르는 편이, 전체적인 당첨 확률은 높다는 것입니다.

그러니 응모도 적당히, 가챠도 적당히^^